目前，数学教师所需要的知识问题，已经成为各国教师教育研究和教师培训工作者关心与讨论的热点。在过去的30年，对教学所需的知识的关注不断增加，有人的关心源自感觉，也有人的关心随着课程改革而变化。课改的进展对教师的要求与日俱增。各国教师感受的压力千差万别，然而，如何界定数学教学所需要的知识，是普遍感到关切的问题。数学教师应该知道什么，他们知道了什么，什么知识是可靠的，这些知识是否可以度量？如何度量？数学教师如何获得知识，在什么时候获得知识，在哪里获得并且巩固这些知识？都是当前数学教师职业教育令人感兴趣的问题。

1.数学教育界关注的热点问题

近年来，国际上已经成立了许多国际社团，专门研究数学教师为教学而必须具备的知识。2008年，在墨西哥召开的国际数学教育大会(ICME11)上，成立了研究“教学所需的数学知识”的专门小组。教师的数学知识以及作为数学职业工作者的知识，两者有相似之处，也有重要差别。差别何在？既在于知识量不同，也在于知识领域不同。差异不仅表现为数学知识的性质，也表现为它的使用功能，人们对两者之间的差异正在研讨中。

一些研究以试验数据为基础，另一些研究对教师的数学知识作了理论思考，从而提供了数学教师教育的新想法。研究挑战了现行数学教师教育：一些大学的数学教师教育强调学术型的数学训练，与数学教学实践缺乏联系。然而，加拿大魁北克双语区的数学教师教育令人感到兴奋，那儿有数学教师知识研究的实体，教师教育工作者在其中发挥主要作用。

利用教师合作研究的课例，可以更好地理解教师在数学教学中，在学习情境中所需要的知识。研究源于19世纪70年代，加拿大蒙特利尔大学颁布了中学数学教师教育大纲，提出了数学教师为教学的数学知识的观点，指出教师的知识由两个相互补充的主轴构成：

（1）从理论上说明数学教师在其数学教学中所需要的知识。

（2）从教师的专业发展的角度对数学教学知识的结构成分和特点作出说明。

这个大纲虽然几经修改，但是一直指导着数学教师的职业发展。

2.数学教学知识的四维结构

文中所提供的教学课例，是由合作研究中心提出的，有关学生在探索数学问题的一些片段，通过分析学生数学学习的一些过程，说明教师为数学教学所需要的知识， 它们的成分、结构以及特征。

数学活动的关键因素是教师对活动的设计，它是教学计划的核心。在教学设计中，教师要调用四个维度的知识，即：

(1)教学规定的维度：教学大纲，课程标准，相应的教材和教学参考书，以及这些文献所涉及的知识。

(2)教学目标的维度：对活动目标的分析，关心它能够推动什么，思考学生在活动中应该得到哪些方面的发展。

(3)数学的维度：与活动相关的数学知识，需要进行数学推理，推理中所用的概念、定理与性质，推理的数学表述，数学活动过程的记录。

(4)教学法的维度：与他人一起学习，在数学活动中，班级和小组构成小社会，师生交流，相互争论，教学相长。

为了教学的需要，教师要从多方面考虑和设计数学活动，需要把各种各样的知识与能力有机结合起来，从而说明教师数学教学知识的多样性与综合性。作为数学教师，应该具有良好的数学功底，教师对课程中相关的数学内容要有较深入的认识，较广阔的学科视野，这是十分重要的。

3.数学教学知识的实践性与综合性

教师的教学处理不能预先设定，而要根据学习活动的过程“见机行事”，比较各组学生的情况，研究在数学活动中出现的问题，有针对性地进行。

这种“见机行事”涉及教师教学的重要方面，这就意味着，教师通过设计适当的问题，让学生鉴别他们的解答。这里也隐含师生交流各自数学视角以及解决问题的方法。

数学教师的教学知识，主要是在教学中产生，并在教学中得到检验和强化。在教学中所用到的知识，往往不局限于某个章节的知识，而与数学其他分支、其他学科的知识综合交织在一起。在教学中所用到的知识，也不局限于数学内容的知识，还包括动手实践，探索发现，从简单到复杂，从特殊到一般等科学认识论和方法论的原理。

数学教学的知识，它的产生具有突发性，它的运用具有机敏性。教师数学教学的知识有三个基本特点：

（1）它的性质，接近于在行动中的知识，它的“见机行事”更甚于在传授与阅读中产生的知识。

（2）它的情境特点，它与课堂出现的问题，以及解决问题的思路紧密相连。

（3）学生问题的出现具有不可预知性。新课程要求教师能及时跟踪学生的想法，要根据各种具体情境，恰当地引导学生走出认知误区，为此教师必须有较高的知识水平与较强的引领能力。

数学教师在他们的教学中所遇到的情境，在方法上与数学家大不相同。在对问题的探索中，数学家肯定要把注意力集中在建立数学模型上，寻找一般的公式，提出正确的解法，关注结论合理性的检验，结论的推广与引申。有时又要规定各种各样的约束条件，研究问题解决的其他途径。而教师在实际教学中处理有关数学问题时，就会从不同的视觉进入。他们会联系到学生，联系到学生各种各样的策略，联系到自然产生的模型，教师会根据这个模型，对问题及其各种解法进行再思考。教师也会对学生自然产生的各种思路，他们所陈述的道理，这些理由的有效性，以及他们所取得的进步产生兴趣。

数学教学知识总是在教与学的线索中得以建立，得到解释。设计教学情境，同时用到了各种各样的知识来源，包括教育的，教学法的，数学的，甚至是规定性的。这些维度不是一成不变的。

数学思想方法的渗透是潜移默化的，关键是对学生情况的理解。课堂中的数学情境，总是把求解和探索结合在一起，各种因素综合交织。各种因素不会单独起作用，它们总是相互影响，相互选择，联袂演出。

在上述教学实践中所需要的知识，即使称之为教师的为教学的数学知识，也永远不是纯数学知识。它是各种知识的交织与组合，是非常特殊的知识。

4.数学教师是传道解惑的良师益友

由黄毅英教授主编的新作《数学教师不怕被学生难倒了》是由中国内地与香港多位资深教师联合撰写的。

强大的作者阵容，丰富的教学研究阅历，对师生所疑所惑的深入洞察，对课程相关问题的远见卓识，是《数学教师不怕被学生难倒了》一书魅力之所在。

该书的出版，能够配合中小学数学课程发展，适应教师职业发展的需要，帮助教师们较深入地探讨数学课程的一些重要的数学问题。我以为《数学教师不怕被学生难倒了》一书的吸引力在于如下几方面：

（1）有助于加深对课程中有关数学问题的认识

《数学教师不怕被学生难倒了》一书围绕着中小学数学课程的主干内容展开，对一些重点问题作了较深入的阐述。例如，数系及其运算的发展问题，代数符号及其相关运算问题，对几何图形及其相互关系的认识问题，实验几何与演绎几何问题，度量问题，统计与概率问题，既是课程的重点问题，也是教师们感到疑惑的问题。《数学教师不怕被学生难倒了》对这些问题一一作了详细的分析与论述。

为了减轻学生的学习负担，考虑到知识的连贯性与衔接性，我国在课程的安排中，在教材的编写中，对某些问题作了简化。例如，有关“数系的扩展”问题，在我国高中课程标准中只安排了四个课时，因而在教学中无法详细交代数系的来龙去脉，而《数学教师不怕被学生难倒了》一书，却能从历史的角度，用数学结构的眼光，对此作了深入的说明。

（2）能够帮助教师开阔数学课程的视野

我国中小学数学课程加进了不少新内容，如概率、统计、向量、导数及其应用等。为了腾出时间学习课程的一系列新专题和新内容，我国简化了对演绎推理的要求，因而也给教师带来一些压力。为了解决教师对这些问题的疑惑，《数学教师不怕被学生难倒了》一书对与之相关的内容进行了深化与补充，它结合教材而高于教材，是教师教学研究的良师益友。《数学教师不怕被学生难倒了》一书采取了先统计、后概率的处理方法，恰好与新课程的处理顺序相一致。

《数学教师不怕被学生难倒了》一书，对于现实生活所需要的统计原理与方法，作了较详细的介绍，有助于教师更好地把握教材。对于概率，书中补充了概率的缘起，说明了概率产生的历史背景等。与课程相关的概率问题，如古典概型、几何概型、概率的统计定义等，都是教师们希望了解的，《数学教师不怕被学生难倒了》一书对此作了较深入的探讨，从而帮助教师开阔了课程的数学视野。

（3）为数学教与学提供丰富的营养

某些重要的数学问题，新课程的处理方法与传统的方法不同。以几何为例，新课程提倡探索与实验，对于推理与论证降低了要求，如果处理不好，就会导致学生的推理与论证能力的削弱，为了补充师生这方面的不足，《数学教师不怕被学生难倒了》一书设立了第三章“图形与空间”，详细阐明了它们之间的联系与区别，从而使他们能够正确把握各年级图形与空间能力有关的教学问题的深广度。

《数学教师不怕被学生难倒了》一书，还提供了丰富的史料与个案，让教师们有机会欣赏数学的来龙去脉，览胜数学史中的重大事件，具有良好的阅读价值。

图文并茂也是本书的一大亮点，这里的图，包括了精巧的几何图形，准确有价值的图表，反映数学内在联系的逻辑框图，既能展示数形结合的魅力，也给读者以数学美的感受。这里的“文”是指案例，反映了教师在教学实践中的疑惑，编者力求给予正确的回答。

（4）利于加强课程的薄弱环节

测量是中小学数学的重要组成部分，也是数学应用的一个主要方面。不少发达国家，如美、英、法、德、日等国，都把测量视为课程必不可少的组成部分，在教材中编有关测量的专门章节，各国大纲对测量提出了明确的教学要求。在我国中小学，数学课程也含有与测量相关的内容，但是在教学上是把测量分散到各章节学习。

有些学校在教学中往往用代数计算和几何原理等，掩盖了其中的测量问题。例如，测量单位的选定，测量的转换与变通，近似计算的方法与要求等。对这些重要的问题，尚缺乏专门的阐述，而相关的练习也有片面性。当前我国学生的计算能力不尽如人意，在数学练习中，使用测量单位有误，对于测量的近似运算要求认识不清，因而错误百出。这也与对测量的处理支离破碎有关。

《数学教师不怕被学生难倒了》一书顺应了国际数学课程改革的潮流，较为完整地阐明了“测量”的意义、原理和方法。该书设置了测量的章节，对于测量的意义、过程、应用与误差处理等问题作了较完整的论述，这有助于完善教师们的认知结构，帮助教师正确处理测量的教学问题，对于纠正学生的常见错误，将会大有裨益。

笔者相信，本书对数学课堂教学，对教师的职业素养的提高，对于提高教师的教学水平，将大有帮助。它有助于建构知识在教学中的切入点，有助于指导教师在教学中具体处理。这些知识通过其他活动得以发展和提炼，对学生发挥引领作用。这是近来研究教师教育实践的新线索，也是教师职业发展的新趋势。教师的感悟在实践中生成，它是动态发展的知识，它既相对独立于实践，又在实践中逐步形成其意义。

王林全

于华南师范大学